Яна дочь знаменитого пловца, олимпийского чемпиона 1992 года Алексея Кудрявцева, и его жены Виктории. Спортивная карьера Кудрявцевой стартовала с 2008 года: она выигрывала национальные юниорские турниры, в том числе чемпионат юниоров России в 2009 году в Дмитрове, в 2011 году в Самаре и в 2012 году в Казани.

Яна начала выступать на международных соревнованиях в сезоне 2011 года. Она выиграла юниорский Кубок мира в 2011 году. В 2012 году на первенстве Европы она стала чемпионкой среди юниоров в упражнении с мячом, а также завоевала «золото» в командном многоборье вместе с Юлией Синицыной, Александрой Солдатовой и Дианой Борисовой.

Кудрявцева начала выступления на взрослых соревнованиях в 2013 году на международном турнире среди сениорок, проходившем в рамках этапа Гран-При в Москве, а также на следующем этапе в Холоне, где она выиграла многоборье, упражнения с булавами и мячом и «бронзу» в упражнении с обручем. Затем она приняла участие в этапе Кубка мира в Софии, где заняла первое место в многоборье и стала первой гимнасткой, выигравшей этап Кубка мира в своём дебютном сезоне, опередив болгарку Сильвию Митеву и подругу по команде Маргариту Мамун. Она также выиграла упражнения с обручем и булавами и завоевала «бронзу» в упражнениях с лентой. На этапе Кубка мира в Минске Яна выиграла вторую подряд золотую медаль в многоборье, а также «золото» в упражнениях с мячом и «серебро» в упражнениях с булавами.

На чемпионате Европы в Вене в 2013 году она заменила Александру Меркулову и вместе с подругами по команде, Маргаритой Мамун и Дарьей Сватковской, выиграла золотую медаль в командном многоборье. В финалах отдельных видов она первенствовала в упражнениях с мячом (первой из всех спортсменок получив сумму в 19 баллов при новой системе судейства) и булавами. Яна стала самой молодой чемпионкой Европы, так же как Алина Кабаева, которая тоже выиграла свой первый чемпионат Европы в 15 лет.

Первый финал Кубка мира прошёл для Яны в Санкт-Петербурге в 2013 году, где она выиграла «бронзу» в многоборье, а также золотую медаль в упражнениях с мячом и «серебро» в упражнениях с лентой и булавами. В августе 2013 года Яна дебютировала на чемпионате мира в Киеве. Во время квалификации в упражнениях с лентой в результате технических сбоев неоднократно прерывалась музыка, и Яне пришлось выступать заново, что не помешало ей стать первой в этом виде с результатом 18,516. Кроме того, Кудрявцева выиграла золотую медаль в упражнении с булавами, разделив эту награду со своей соотечественницей Маргаритой Мамун, и стала серебряным призёром в упражнениях с мячом и обручем. В финале индивидуального многоборья Яна завоевала «золото», обойдя украинскую гимнастку Анну Ризатдинову и Мелитину Станюту из Белоруссии и став, таким образом, самой юной абсолютной чемпионкой мира в 15 лет.